线性规划问题_线性规划问题的可行域是

运筹学线性规划问题，求详细解答

min： z=x1-x2+s1-s2

a)

线性规划问题_线性规划问题的可行域是

线性规划问题_线性规划问题的可行域是

25+15-0=25

5+315-20=30

45+75-220=85

满足约束条件 a 为可行解即可行域凸集顶点

b)

29+7-0=25

9+37-0可求得分别是 (0,0) (0,2) (2,0) (4,6)=30

49+77-0-20-8=77

c)

215+5-10=25

15+35-0=30

415+75-10地球物理反演教程=85

关于高中数学 线性规划问题

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截距越大，z就越大，这是不对的，因为z有时候不一定就是在y轴上的截距

注意此时纵截距是,,},-z/2，故要使得z最小，纵截距就要了因为前面有负号

所以y=x/2 -z/2 要过点（3，6）才是z 的最小值，画图看看，也许

你就明白了...

值17最小值-11

关于这种题目你可以先求三条直线的交点，目标函数的极值肯定是已知函数的交点。然后再把交点坐标带进去比较值与最小值，完全不用做图

1.对。把目标函数z化成y=……的形式，z就是截距了。

2.不对，截距是要看正负的，呵呵

3.你看看题目是不是此式为线性规划问题的标准式。式中新变量xn+i称为松弛变量(slackvariables)。这样，标准式使线性规划问题化为一组具有n+m个未知量的m个线性代数方程式，它有利于直接用标准模型求解。打错了呢，觉得有问题~~~

1.对

2.要根据y的系数B。B>0,截距越大，z就越大。B<0,截距越大，z就越小。

3.y的系数-2<0,此时z最小时，截距

什么叫做线性规划？

14x+9y≤51

线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的分配问题，即如何对有限的资源作出方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产，并不是一件困难的事情。在总体中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润的总产量。该方法的优点是可以处理多品种问题。

简单分析一下，详情如图所示

线性规划就是目标函数和约束条件都是线性的（即均为一次的），然后求目标函数的极值问题。

例 求Z=x+y的值,使式中的x、y满足约束条件：

-6x+3y≤1

x,y≥0

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.

线性 就是指具有类其它类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。似于直线的性质 规划 就是

线性规划就是指 在满足线性约束条件（就是对二元一次不等式组的解集）的基础上 求出它的最小值或者是值（也就是所谓的解问题转化为已知4a+6b=12，求2/a + 3/b的最小值）

十分具体的见高二上学期数学书地七章。

在一定区域取解。

单纯形法计算线性规划的步骤

1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。

单纯形法计算线性规划的步骤：

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（1）把线性规划问题的约束方程组表达成型方程组，找出基本可行解作为初始基可行解。

（2）若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。

（3）若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。

（4）按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足性条件(这时目标函数值不能再改善)，即得到问题的解。

（5）若迭代过程中(2)两阶段法发现问题的目标函数值，则终止迭代。

用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有10^6个决策变量和10^4个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值，则终止迭代。

也可以从任意一本运筹学或者线性规划教材上面查看算法，结合例子还看，比较容易懂点。

1、先划LP标准型2、看是否有现成的可行基(之后看检验数，换基迭代)3、没有现成的可行基就用两阶段法先求解辅助问题，判断原问题是否有可行基

什么是线性规划?

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线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.

x1,x2,s1,s2,s3,s4,,},>=0;

第6章 线性规划反演法(L₁范数解)

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在前面第3章介绍的最小二乘法是L2范数解，数据满足高斯分布。当地球物理数据d在统计学上满足双边指数分布时，数据的指数概率分布密(4)在第(1)和第(2)个约束不等式的左端分别加入、减去松弛变量x6和剩余变量x7，其中x6≥0，x7≥0。度函数[2]为

其中:σ为高斯分布的标准; 为数据的平均值。

数据的指数概率分布函数[4]为

P1(d)表示取值在(-∞，d]的概率，其中要求 。由于分布密度是对称的，求大于 的[d1，∞)的概率用关于 的对称值计算:

数据的高斯概率分布函数为

注意:概率分布密度函数和概率分布函数的区别。概率分布函数就是通常所说的概率，所有取值的概率之和为1，即，没有一个取值的概率超过。而概率密度则不同，它与标准有关，标准越小，概率密度越大，它不是概率，所以它的值可能会超过1。

取σ=0.01， ，在相同的σ和 条件下的概率分布密度曲线如图6.1所示，其中实线为指数分布概率密度函数，虚线为高斯分布概率密度函数。概率分布函数如图6.2所示，其中实线为指数分布概率函数，虚线为高斯分布概率函数。

从图6.2中可见，指数分布出现远离均值的数据的概率比高斯分布大。这说明指数分布容易出现个别数据较坏的情况，这时可以用L1范数解进行反演，这对数据集中极少数坏数据具有较大的韧性[1，2]。

L1范数反演可以转化为线性规划问题，然后再利用线性规划的方法求解[7，12]。线性规划问题是首先在经济和企业管理中发展起来的并已经被深入研究过的问题，目前有很多成熟的解法，其中求解线性规划问题最常用的是单纯形法。因此L1范数反演思路如下:首先将具体地球物理反演问题转化为线性规划问题，然后用单纯形法求解。

图6.1 指数和高斯概率分布密度函数曲线 图6.2 指数和高斯概率分布函数曲线

线性规划问题的数学模型为[2]

ψ=cTx=max (6.6)

约束条件:

其中:c，x，b为列向量;c称为价值系数;x称为决策变量;A为矩阵。线性规划的优化问题是:在满足约束条件的前提下使得目标函数取极大值(有的书取极小值[7])。

式(6.6)和式(6.7)不是线性规划的标准形,,},式。在实际应用中，各种线性规划问题都可以变换为如式(6.8)和式(6.9)的标准形式后求解。

线性规划问题的标准形式:

ψ=cTx=max (6.8)

约束条件:

Ax=b，x≥0 (6.9)

下面仍然以一维直流电测深反演为例说明如何将地球物理反演问题转化为线性规划问题。

设视电阻率数据满足指数分布，则可以用L1范数进行反演。

因此建立L1范数曲线拟合目标函数:

其中:M为视电阻率曲线中数据个数;ρai为实测视电阻率; 为理论计算视电阻率。

其中:d为观测电测深视电阻率数据;d为计算机模拟的视电阻率数据，都为列向量。

采用泰勒近似:

d≈d0+J·(m-m0)

则地球物理反演教程

要想使ψ=min，则有

式(6.13)可以作为约束条件，而目标函数可以采用模型参数的L1范数最小:

其中:N为模型参数的个数。由于模型参数都是正的，所以有

其中:

这样地球物理反演问题化为线性规划问题(在满足约束条件的前提下使得目标函数取极小值):

L1=cTm=min (6.17)

约束条件:

注意:这里是要使目标函数取极小而不是极大，所以不是线性规划的标准形式。需要化成标准形式来求解。下面介绍变换的四种情况:

(1)目标函数的极小问题改为极大问题。只要令ψ'=-ψ，可以把minψ变为maxψ'。

(2)如果有负的决策变量，可令x'k=-xk将其改为非负的决策变量。

(3)如果约束条件中有决策变量取值无约束，可以把它改为有约束的变量。如:令xk=x'k-x″k，其中x'k和x″k是非负的松弛变量。

(4)约束条件中的不等号改为等号。对于＜或≤符号，在左端加入一个非负松弛变量;对于＞或≥符号，在右端减去一个非负的剩余变量。

任何形式的线性规划数学模型都可以化为标准形式，下面用例子说明。

对于式(6.17)和式(6.18)的线性规划问题，只要令L1=-cTm=max即可。

设有一个非标准形式的线性规划问题:

将这个问题化为标准形式的过程如下:

(1)令z'=-z;

(2)令x'2=-x2;

(3)令x3=x4-x5，其中x4≥0，x5≥0;

这时我们得到如下标准形式的线性规划问题:

解式(6.20)的线性规划问题可以采用单纯形法求解[7，12]。限于篇幅本文不详细介绍单纯形法的具体步骤，有兴趣的读者可以参考相关的书籍。下面仅仅对单纯形法做简单的介绍。

单纯形法是美国数学家丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是:线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是解;若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别;若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的解。如果问题无解也可用此法判别。

(1)把线性规划问题的约束方程组表达成标准型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。

(2)若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。

(3)若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。

(4)按步骤(3)进行迭代，直到对应检验数满足性条件(这时目标函数值不能再改善)，即得到问题的解。

(5)若迭代过程中发现问题的目标函数值，则终止迭代。用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。

数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead(1965)发现，这是用于优化无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的(N+1)个顶点的凸包、直线上的一个线段、平面上的一个三角形、三维空间中的一个四面体等。在何宝侃等所著《地球物理反问题中的化方法》一书中有下山单纯形法的详细公式及反演步骤[3]。

线性规划问题：

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由原题的图像可看出此线性规划共有4个顶点

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下:

目标函数在这4个点处的值分别为 0，2b，2a，4a+6b

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易求得结果是50

线性规划的优缺点是什么?

缺点：对于数据的准确性要求高，只能对线性的问题进行规划约束，而且计算量大。

线性规划法是解决多变量决策的方法,是在各种相互关联的多变量约束条件下,解决或规划一个对象的线性目标函数的问题,即给与一定数量的人力、物力和资源,如何应用而能得到经济效益.其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式,用一个极大或极小值表示.约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素,用一组等式或不等式来表示.

,,},地球物理反演教程

，有由线性规划演变的非线性规划法等等后续的方法弥补，但是计算量增加许多。

谁知道“简单的线性规划问题”的求解过程？

（一）线性规划单纯形解法的基本思路

若一个凸集仅包含有限个极点，则称此目标函数:凸集为单纯形。

线性规划的可行域是单纯形（证明略，但可以从上节图解法的例子得到认同），进而线性规划的基可行解又与线性规划问题可行域的极点1-1对应（定理2.2.2）， 线性规划单纯形法就是基于线性规划可行域的这样的几何特征设计产生的。这个方法最初是在20世纪40年代由George Dantzig研究出来的。这个线性规划单纯形解法的基本思路是：先求得一个初始基可行解，以这个初始基可行解在可行域中对应的极点为出发点，根据准则判断这个基可行解是否是解，如果不是转换到相邻的一个极点，即得到一个新的基可行解，并使目标函数值下降，这样重复进行有限次后，可找到最解或判断问题无解。

（二）单纯形法的准则

设：线性规划（LP）为：

min cx

s.t. Ax=b

x≥0

A为（LP）的约束方程组的mn阶系数矩阵（设n≥m），A的秩为m；B是线性规划的一个基，不失普遍性，记

定义

则：称λ，或者λj,(j=1,2,…,n)为检验数。

若：λ≤0，即全部λi非正，

则：由B确定的基可行解是（LP）的解。

（参看附录2.3.1）

二、线性规划单纯形法的表格解法

较简单的线性规划可以采用单纯形法的表格形式，这样利用计算器就可求解。单纯形法的表格解法的基本思路是，对基可行解建立单纯形表，满足约束条件 c 为可行解即可行域凸集顶点依据此表作解判断，以及从原基可行解向目标值更小的新可行解转换的计算。

对于由基阵B确定的基可行解，其单纯形表为表2.3.1形式。对于初始基可行解，其单纯形表的构建方法为：先建立表2.3.2形式的表格，然后应用“行变换”将表2.3.2中的前m列，即基变量对应的列

转换为

其中0是m元0向量：0=(0,0,…,0), 是m阶单位方阵。在这样的行变换下，表2.3两阶段单纯形法就是将线性规划问题分两个阶段求解。.2将转换为表2.3.1