正弦定理在实际生活中的应用(正弦定理在生产生活中的应用)

正弦定理怎样应用？

1、外接圆半径R：

正弦定理在实际生活中的应用(正弦定理在生产生活中的应用)

正弦定理在实际生活中的应用(正弦定理在生产生活中的应用)

正弦定理在实际生活中的应用(正弦定理在生产生活中的应用)

2、直角三角形外接圆半径=1/2×斜边。

外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离，与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

定理意义：

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式，由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

正弦定理以及应用条件,余弦定理以及应用条件

正弦定理(Sine theorem)内容 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）

正弦定理和余弦定理的实际应用

a/sina=b/sinb=c/sinc

这个是正弦定理

余弦定理为:三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和,减去两边与他们夹角的余弦的积的2倍

公式为:a2=b2+c2-2bccosa

余弦定理和正弦定理的应用

余弦定理和正弦定理的应用在三角形中。

1、在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，例如在ABC中，已知a=1，b=2，A=60°，则sinB=basinA=3>1， 问题就无解。

2、正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用。条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理。

3、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=a2R，cosA=b2+c2-a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。

4、注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能。

余弦定理和正弦定理的区别：

1、余弦定理和正弦定理形式上不同，正弦是边对角的关系，余弦是三边求一角。但是两者的本质是相同的，都是在研究三角形中推出的理论。

2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3、正弦定理适用于已知两个角和一边或一边和与其相对的两个角的情况下，余弦定理适用于已知两个边和夹角或三个边长的情况下，求另外一边或一个角的大小。

4、此外，正弦定理中使用的是正弦函数，余弦定理中使用的是余弦函数，因此在计算时需要注意公式的不同。

正弦定理的应用

正弦定理的应用_正弦定理的变形及应用 正弦定理的变形及应用正弦定理的原定理同学们较熟悉．正弦定理的变形形式有： （1）a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;（2）sin A ?a b c , sin C ? ，sin B ? ； （3） 2R 2R 2Rsin A : sin B : sin C ? a : b : c ;（3） a sin B ? b sin A, b sin C ? c sin B, a sin C ? c sin A ，下面结合学习正弦定理的实际，分类例析它的应用。

一、证明三角等式 例1．在△ ABC 中，a、b、c依次是 A 、 B 、 C 的底边，且 a+c=2b , 求证：tanA C 1 ? tan ? 2 2 3证明：由a＝2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 及 a+c=2b 得s iA n?s i C n ? 2s i B n ? 2 s i ?n A ? C?∴ 2 sinA?C A?C A?C A?C A?C cos ? 4 sin cos , 又sin ?0 2 2 2 2 2A?C A?C ? 2cos 2 2 ∴ A C A C A C A C cos cos ? sin sin ? 2cos cos ? 2sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 cos∴ 3sinA C A C sin ? cos cos 2 2 2 2∴ tanA C 1 ? tan ? 2 2 3点评：己知中的关系是边，而所求证中的关系是角，正弦定理恰是桥梁作用。

二、判断三角形的形状 例2．在 ?ABC 中， b cos A ? a cos B ，判断 ?ABC 的形状.a a b c ? k ( k ? 0 )， 由 正 弦 定 理 ? ? 得 a ? k sin A ， sin A sin A sin B sin C b ? k sin B ，代入已知条件得 sin B cos A ? sin A cos B. 即 sin B cos A ? cos B sin A ? 0 ，解：设 即 sin( B ? A) ? 0 . 又 A, B 为 ?ABC 的内角，所以 A ? B ，故 ?ABC 为等腰三角形. 点评：判断三角形的形状，要么是从角入手，要么是从边入手。

三、确定三角形内边和角的大小 例3．在△ABC 中，已知 b ? 14, A ? 30 , B ? 120 中，求 a ， c 及△ABC 的面积 S0 0解：依正弦定理：a b bs i n A ＝ ，∴ a? ，代入已知条件， sin A sin B sin B14sin 300 14 3 a? ? 3 sin 1200∵ C ? 1800 ? ( A ? B) ? 1800 ? (300 ? 1200 ) ? 300 ，又 ∴c ?b c ＝ ， sin B sin Cb sin C 14sin 300 14 3 （或因为∠C＝∠A，△ABC 为等腰三角形，所以 ? ? sin B 3 sin 12001 1 14 3 4 3 ab sin C ? ? ? 14sin 300 ? 2 2 3 3a ? c ）∴ S ?ABC ?点评：在用正弦定理解决三角形问题时，常与三角形面积公式 S ?1 ab sin C ? 21 1 ac sin B ? bc sin A 联系在一起。

2 2四、确定变量的范围15.在?ABC中，已知A ? 2 B, 求 的取值范围. 例4．b a15.解 : A ? 2 B ? sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? ? A ? 2 B ? 0? ? B ? 60? ?b sin B 1 = = . a sin A 2 cos B1 b 1 ? cos B ? 1? ? ( ,1). 2 a 2点评：求边的关系的取值范围，直接求不能入手，结合己知条件运用正弦定理进行转化能 解决问题。

正弦定理的应用_应用正弦定理解决实际问题

应用正弦定理解决实际问题正弦定理是解决与三角相关问题的有力工具，在实际生活和工农业生产中，许多问题与 三角形相关。可以利用正弦定理进行解决。而利用正弦定理解决实际问题的步骤是： (1) 仔细阅读题中内容，正确理解题意，找出已知与所求，画出示意图；(2)构建三角形，把实 际问题中的长度、角度看做三角形相应的边和角，把实际问题转化为数学问题；(3)应用正 弦定理等数学知识解三角形；(4)对解数学问题得出结论做出实际问题的。

一、求建筑物的高度 例 1 在某点 B 测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ，沿 BE 方向前进 30 米，到点 C 处 测 得顶端 A 的仰角为 2? ，再继续前进 10 3 米到点 D 点，顶端 A 的仰角为 4? ，求 ? 的大小 A 和建筑物 AE 的高。

解：由已知可得在 ?ACD 中， AC ? BC ? 30 ，AD ? DC ? 10 3 ，? ?ADC ? 1800 ? 4?B??3 10 3 30 0 ， 因为 sin 4? ? 2 sin 2? cos 2? ， ， 得 2? ? 30 ? cos2? ? ? 0 2 sin 2? sin(180 ? 4? )C2?4? D E图1?? ? 150 ，在 Rt ?ADE 中， AE ? AD sin 600 ? 15 ，所以所求角 ? 为 15 ，建筑物高为 15 米。0点评：根据题意画出的图 1，可以运用正弦定理得解。本题同学们也可以方程观点求， 也可以利用二倍角公式求解，同学们不妨度试一试。

二、应用于航海技术 例 2 如图 2，海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，船正向南航行， 在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30 ，航行 30 海里后，在 C 处测得 小岛 A 在船的南偏东 45 ，如果此船不改变航向，继续向南航行，有 无触礁的危险？ 解：在 ?ABC 中， BC = 30, B = 30 ， 图2 ∴ 由正弦定理知：BC AC = sin A sin B∴30 AC = ， sin15 sin 30∴ AC =30sin 30 = 60cos15 = 15( 6 + sin152)于是 A 到 BC 所在直线的距离为：AC ? sin 450 = 15( 6 ? 2 ) ?2 2（海里） 答：它大于 38 海里，所以继续向前航行无触礁的危险。

点评：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到直线 BC 的距离与 38 海里的大 小．于是我们只要先算出 AC（或 AB） ，再算出 A 到 BC 所在直线的距离．将它与 38 海里 比较即得问题的解． 三、应用于测量技术 例 3 某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD=6000 米 ， ?A C D ? 4 5 ,? A D ? C 7， 5目 标 出 现 于 地 面 点 处 B 时 ， 测 得?BCD ? 30 , ?BDC ? 15 ，求炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中， ?CAD ? 180 ? ?ACD ? ?ADC ? 60 ，ACD ? 6000, ?ACD ? 45 ，根据正弦定理得： AD ?CD sin 45 2 ? CD ． sin 60 3C45?? 30?? ? ?B75?? D 15?? ? ?同理，在 ?BCD 中， ?CBD ? 180 ? ?BCD ? ?BDC ? 135 ， CD=6000， ?BCD ? 30 ， 根据正弦定理得： BD ?图3CD sin 30 2 ? CD ． sin135 2又在△ABD 中， ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90 ， 根据勾股定理得： AB ?AD2 ? BD2 ?2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 ． 3 2 6所以，炮兵阵地到目标的距离为 1000 42 米． 点评：在实际问题中，解决与三角形相关应用题，首先要认真审清题目条件，画出题图 形，标出已知条件，如角度和边长．然后分析哪些边和角需要求出，选择三角形应用正弦定理解决．后结合实际给出结论。

正弦定理的应用_正弦定理及其应用

基于数学核心素养的高中数学 教学设计 与反思课题名称：正弦定理及其应用姓名王艳芳工作单位河北省易县高级中学学科年级高二年级教材版本人教 A 版一、教学内容分析在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系；同时在必修 4 ，学生也学习了三角函数、平 面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸， 是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，本节内容同时又是学生学习解三角形，几何计算等后 续知识的基础，而且在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。二、教学目标（1）知识目标： ①学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； ②简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。（2）能力目标：①通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数 学规律的过程。②在利用正弦定理来解三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决实际问题的能力。

（3）情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与双边交流活 动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培 养学生良好的学习习惯及科学的学习态度。三、学习者特征分析学生在初中已获得了直角三角形边角关系的初步知识,正因如此学生在心理上会提出如何解决斜 三角形边角关系的疑问。与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课 堂上发表与众不同的见解，但计算能力较，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不 足。四、教学策略选择与设计由于这是一堂新授课, 加上班级学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以 在教学中,拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激发学生积极思考，他们运用已有的 知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。

后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确，并指出学生解题方法的优缺 点。五、教学重点及难点教学重点：通过新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为正弦定理的推导有利于培养学生发散思维，学生能体验数学的探索过程，能加深对数形结合解决数学问题的理解，所以正弦定理的证明是本节课的重点之一；同时，数学知识的学习终是为了应用，所以正弦定理以及正弦定理的应用也是本节课的重点之一。教学难点 ：新定理的发现需要一定的创新意识和发散思维，这正是多数学生所缺乏的，但是需要的是创新人才，因此，正弦定理的猜想发现是本节课的难点。六、教学过程 教师活动预设学生活动设置情境 引入课题学生根据设置的情景，画出问某游客在爬上山顶后，在休息时 题所对应的图形，思考如何解决问看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）在岸边选定 1 公里长的基线 AB，并测得∠ABC=120? ，∠BAC= 45? ，如何求 A、C 两点的距离？（引出问题： 在三角形中，已知两角以及一边，如 何求出另外一边） 探寻特例 提出猜想 回顾直角三角形中边角关系.如图：题。

因为学生只有初中解直角三角形的基础，因此预计很多同学都是 作的直角三角形，针对这一现象提 出如果是斜三角形，应如何解决。让学生自己弄明白基线的概 念。设计意图通过设置情境，激 发学生的学习热情,培 养学生学习数学的兴 趣，在情境中提出问 题,学生探究问 题，这样在课堂中调动 了学生的积极性，使他 们以强烈的求知欲和 饱满的热情来学习新 知识.多数学生对直角三角形中的边角关系都能给出结果。学生通过讨sin A ? a , sin B ? b , sin C ? 1 ? cccc所以 c ? a ? b ? c . sin A sin B sin C说明：这个过程通过师生互动过程实现，我的角色是、鼓励学生积极论、大胆猜想，把直角三角形中的 边角关系推广到一般的三角形中 去。这个关系是否正确，学生先用 一些特例去验证。思考证明方法。思考，并表达其想法。1、在此环节上， 我突破难点（正弦定理 的发现）的方法是利用 学学生从熟悉的 求直角三角形各角的 正弦入手，鼓励、 学生积极主动地思考， 创造意义学习的条件。2、对正弦定理的发现采用的是由特殊到一般地思想方法。猜想：在一般三角中，上式关系是 否成立？如果成立，如何证明?逻辑推理 证明猜想首先，我放映利用《几何画板》制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化，比值： a , b , c 的值都会 sin A sin B sin C相等。提出问题：如何证明？在锐角三角形中sin A ? CD , sin B ? CD ,ba让学生分组讨论自主探究，教 师注意巡视指导，学生思考。

方法一：作高法：鼓励学生通过作 高转化为熟悉的直角三角形进行证 明，对于钝角三角形，让学生课后 证明。

方法二:向量法学生自主探讨定理结论与向量投影之间的关系，试图用向量法证1、该环节在我的 下，学生分组讨 论，合作交流，进行“再 创造”，体现了数学新 课标所倡导的积极主 动，勇于探索的学习方 式的课程理念。2、正弦定理的证 明（重难点），首先法 1 把不熟悉的问题转化 为熟悉的问题, 启发学生利用已有的bsin A ? asin B ，即 a ? b ， 明结论。sin A sin B同理 a ? c ，若 A 为锐角或直角，也可以得到sin A sin C同样的结论。即a?b ? c sin A sin B sin C思考：你能用其他方法证明这一关系式吗？（可学生从三角形的外接圆或面积去考虑）知识解决新的问题 3、研究性课题具有开放性多元性.启发 学生利用所学知识解 决新的问题，让学生借 助向量工具来证明,突 出向量的工具性作用. 培养学生思维灵活广 阔性4、提出新问题为 下节课的问题 2 和问题 3 做准备，激发学生学 习的积极主动性。在钝角三角形中也有这样的结论。范例启迪 归纳方法解 如图 5，将 BD,CE 分别相交 A例 1 某地出土一块类似三角形于一点 A，在 ?ABC 中，刀状的古代玉佩（如图 4）， DE A=180 ? (B+C)= 15? DE其中一角已经破损。现测得BC图4BC图5如下数据：BC=2.67cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm，B= 45 , C=120 。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结? BC ? AC ， sin A sin B? AC ? BC sin B ? 7.02(cm) ， sin A果到 0.0 在 01cm）。同理 AB≈8.60（cm）讲练结合 巩固新知在△ABC 中，已知下列条件，求其他边和角：1、A=45°,B=120°,c=1 （情境 中的问题）有前面例题的基础，学生应该 很容易解决这两个简单的解三角形 问题，因此请两个同学到黑板上进2、A=60°,C=45°,b=20行解答并进行简单讲解。思考：如果知道两边和一对角，能否求出其余的边和角呢？例 2：台风中心位于某市正东方向 300km 处，正以 40km∕h 的速度向西北 方向移动，距离台风中心 km 范围内 将会受其影响。如果台风速度不变，那 么该市从何时起要遭受台风影响？这 种影响持续多长时间？（结果到 0.1h)学生总结：已知两角及任 一边，利用正弦定理可求另两边及 一个角。学生思考并让学生回答还 有什么样的解三角形问题。因此，学生总结已知两边和一 对角也可以用正弦定理解决。此例题来源于课本， 设计此环节目的是进 一步深化学生对正弦 定理本质的理解，突出 重点（正弦定理的应 用），也让学生感受到 数学知识的实际应用。1、练习的设计与例题 相呼应，通过动手练习 来巩固、加深学生正弦 定理的理解，让学生板 演，关注学生的数学表 达，学生提供的反馈素 材，应及时校正。2、培养学生养成 及时进行归纳的意识， 提高其总结能力。3、遵循循序渐进 规律，将问题提升引出 课本例 2，再次加深学 生对正弦定理的认识， 并学生观察，比小结：例 1 和例 2 的不同，例 2 有 两组解。思考：已知两边和一对角是会出现较，提高学生的数学思 维能力。两角的情况。还会有其他情况吗？七、教学评价设计1、测试形式与工具（打√） （1）堂上提问（√）（2）书面练习（3）达标测试（4）学生自主网上测试（√）（5）合作完成作品 （6）其它 2、测试内容 教师堂上提问：正弦定理的内容、学生提交的结论的完整性、学生协作讨论时的疑问、例题讲解过程中问题，课堂总结。

正弦定理、余弦定理在生活中的应用

sinc解决角之间的转换关系

余弦定理主要用于：b，解三角形

（3）运用a，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角正弦定理主要用于

（1）已知三角形的两角与一边：sinb：c=sina

土木工程 建筑学

正，余弦在实际中的应用

正余弦定理教学案例分析

溧阳市戴埠高级中学 冯春香

教材：新课标教材----必修5

课题：正余弦定理

[摘要]： 辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境 .问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“近发展区”。“正余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。

[]： 正余弦定理；解三角形；数学情境

一、教学设计

1、教学背景

在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。

2、教材分析

“正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必修5的章第二节的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明正余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够探究的情境，学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

3、设计思路

建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。

为此我们根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用正余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出正余弦定理的表达式，进而学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、学生明确以下两点：

一是证明的起点

；二是如何将向量关系转化成数量关系。④由学生使用已证明的结论去解决中所提出的问题。

二、教学过程

类型一：解三角形和与之相关的问题

1.⑴在 中，如果 ， ， ，那么 ， 的面积为 ．

变式：若已知 ，可否求出其他三个元素？

例1.已知 中， 求 及 。

变式：（小题训练4）在 中，已知 则边长 。

例2. （原例4.） 中三个内角 的对边分别是 ，已知 ，且 ，求角 的大小。

变式：（小题训练3）若三角形三边之比为 ，那么这个三角形的角等于 。

类型二：判断三角形形状的问题

2.在 中，若 ,则 是 （形状）。

例3.在 ，若 ，试判断 的形状。

学生练习：

1. 已知 中，若 ，则 。

2. 在 中，若 ，则 的形状是 （形状）。

3. 在 中,已知 ，则 。

4.在 中，已知 ，解三角形。

三、教学反思

创设数学情境是“情境 .问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材章 1.3正弦、正余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

“情境 .问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

正余弦定理的应用

正余弦定理的应用：

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题。

关于正余弦定理的应用举例

1、解三角形应用题的基本思想

解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题。

2、运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤。

（1）先要分析：一般要求会出相应的示意图（一个或者几个三角形）

（2）建立模型：根据已知条件与求解目标，讲已知量和需要求的量放在有关三角形中，建立一个解三角形的模型。

（3）求解：利用正弦定理、余弦定理，求解。

（4）检验：是否符合实际问题，比如正负，是否符合大边对大角等。

3、三角形的三个面积公式（非常重要）。

S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB