为什么行满秩矩阵可经过列变换化为(E,0)?

参考资料：

因为是列满秩矩阵，所以有Am的行列式不等于0，所以存在Am逆，而Am乘上Am逆相当于对A做行变化，所以Am部分可变为E,然后E的每一行可以将剩下的部分全部消掉，然后剩下的所有元素就全都变成0了。

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。这个序列告诉我们

含义

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵，行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

为什么矩阵行秩等于列秩

矩阵的秩就是定义为行向量组的秩（也可以定义成列向量组的秩）

从同调代数的观点看这个问题其实是显然的。考虑一个短恰当序列

,其中我n个向量的向量组，至多表示n维线性空间。如果它能表示n维，就是线性无关的，满秩的，秩为n. 1个非零向量，可以表示1维线性空间，所以秩为1，满秩。注意，向量组所对应的矩阵不一定是方阵，所以这里的满秩指的是秩等于向量的个数。们关心的映射是

。取对偶函子后我们有一个新的恰当序列

。而

和永远是同构的（设所考虑的线性空间是有限维的），所以

对偶函子是左恰当的。

2.

矩阵满秩就是秩吗？

极大线性无关组就是在一个向量组，a，b，c，d，e···中，由哪些向量确定之后，它们本身不能互相“创造”，但是其它的向量都可以被所选定的向量“创造”出来，而且你可能会想，我肯定有很多种选择的方法，所以的概念就是这些选定的向量数量最多。

线性无关和秩的关系是：如果一个矩阵行向量线性无关，那么这个矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数或者列数，对于一个向量组来说，向量组线性无关的充分必要条件是这个向量组的秩等于向量个数。

扩展资料：

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于未知数的数目，则方程有解。如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。

m×n矩阵的秩为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩，类似的，的转置否则矩阵是秩不足的。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。

列满秩长什么样

1.

列满秩即列满轶矩阵。

资料拓展：

满秩就是矩阵的秩等于行数或者列数，满秩分为行满秩和列满秩。若矩阵秩等于行数，称为行满秩:若矩阵秩等于列数，称为列满秩。

既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关:所以如果是方阵，行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。设A是n阶矩阵,若r（A）=n,则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

在这里我们称“创造”为表出，设a不能被某一向量组表出，则称a与这个向量组线性无关，而如果能被某一向量组表出(表出的系数不全为0)，则称它与这个向量组线性相关而秩，就是将向量组变成一个一个的列向量之后。

能找出的最多能表出剩余向量的线性无关向量组中，向量组最多的个只有当方阵满秩时，才能只经过初等行变换或只经过初等列变换化为标准型，此时标准型即为单位矩阵。因为当方阵不满秩时，只经过初等行变换，矩阵含有全为零的行，但矩阵的列向量可能都不为零。故不一定能化为标准型。（只进行初等列变换类似）。数。那么满秩，就是这个向量组里所有的向量都线性无关，设有n个列向量，秩是n，则称满秩。

什么叫做行满秩矩阵，什么叫做列满秩矩阵

如果齐次线性方程组Ax=0有k个线性无关的解，那么基础解系所含向量的个数n-r(A)>=k，即有 r(A)。

先告诉你矩阵的秩这个概念！~

根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。

是的。满秩矩阵: 设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。

矩阵的秩是否等于其行秩或列秩

A行满秩则右可逆,即存在B使得 AB=E

在线代里有一个一般性的结论，若C=AB，则rC≤min(rA,rB)。如果其中B是满秩的，则rC=rA。

把这个关系套用过来，对一个矩阵A做初等变换相当于用一个初等矩阵B与之相乘，结果得到C矩阵，C=AB。初等矩阵是满秩的，C秩与A秩同。

两矩阵同秩，其行秩或列秩当然也是相同的。

常用相关结论满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。：

如果矩阵A经过初等行变换化成B，那么A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性相关性。

因为由条件，有可逆矩阵P，使得B＝PA，从而显然，线性方程组Ax＝0与线性方程组Bx=0是同解的。从而A的列向量组与B的列向量组 线性关系一致，线性相关性当然相同，而且不止如此，还有A的列向量组与B的列向量组的秩相等，极大线性无关组相互对应。

高数线性代数。为什么“列满秩”只有零解？想知道根据是什么

另一个同理.

齐次方程组解的性质（非常重要）:AX=0，解集S满足RS=n-RA,n为未知数的个数，也就是A的列数，列满秩意味着RA=n,此时有RS=0，只有所有元素为0，秩才会为0，所以，解集只有零向量，即方程组只有零解。

。所以基本上行秩等于列秩只依赖于两个事实：

列满秩则左可逆,即存在B使得BA=E这个超出了线性代数范围A列满秩,当且仅当齐次线性方程组

矩阵秩的问题 老师您好，为什么矩阵的秩等于它行和列向量组的秩，一个三行四列的满秩矩阵是吗？

矩阵的秩定义为它的行向量的秩。因为有结分别称为行满秩(r(A)等于A的行数)和列满秩(r(A)等于A的列数)论：转置矩阵与原矩阵有相同的秩。所以行向量组的秩与列向量的秩相等。

一个三行四列的满秩矩阵

它的秩为3

如果你将其化为一个4行3这个超出了线性代数范围列的矩阵

满秩是什么意思

1、A为满秩矩阵

n个向量的向量组，如果不能表示n维空间，至多能表示k维空间，k＜n，那么这个向量组线性相关，秩为k。

扩展它的秩也为3：

只由一个零向量构成的向量组，可以定义为线性相关。虽然没有别的向量，但是零向量不能表示任何维度，1个向量只能表示0维线性空间，故线性相关。

线性无关以下几个定义基本上是等价的：

1.向量组所有向量的线性组合，若系数不全为0，则结果一定是非零向量。

2.n个向量的向量组能表示n维线性空间。

3.n个向量的向量组的秩等于n。

4.向量组中任何一个向量，都不能被其它向量线性表出。

5.向量组中去除任何一个向量，都会降秩。

矩阵介绍：

满秩矩阵（non-singular matrix）: 设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩。若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。