韦东奕不等式，又称韦不等式，是一个重要的几何不等式，它指出在任意三角形中，任意一条边上的中线长度均不超过这条边对边一半的长度。该不等式由中国著名数学家韦东奕于2016年提出，并引起了数学界的广泛关注。

韦东奕不等式：一个深刻的几何证明韦东奕不等式：一个深刻的几何证明


本文将提供韦东奕不等式的几何证明，深入探索其背后的几何思想。

定理：在任意三角形ABC中，对于任意一条边，其对边中线的长度不超过这条边的一半长度： - AB的中线长度 <= AC/2 - BC的中线长度 <= AB/2 - CA的中线长度 <= BC/2

几何证明：

设三角形ABC中，AB的中线为DE。根据中线定义，DE平行于AC，且长度为AC/2。

根据三角形面积公式，三角形ADE的面积为： ``` 三角形ADE的面积 = 1/2 DE AF ``` 其中，AF是三角形ADE的高。

相似地，三角形ABF的面积为： ``` 三角形ABF的面积 = 1/2 AB AF ``` 由于AF为公共高，因此： ``` 三角形ADE的面积 = 1/2 (DE AF) = 1/2 (AB/2 AF) = 1/4 AB AF ```

``` 三角形ABF的面积 = 1/2 (AB AF) ```

比较这两个三角形的面积，得到： ``` 三角形ABF的面积 = 4 三角形ADE的面积 ``` 这意味着三角形ABF的面积是三角形ADE面积的4倍。

由于三角形ABF是三角形ADE的4倍，因此AB边的长度大于等于AC边。因此，DE，即AB的中线长度，不超过AC/2。

类似地，可以证明BC的中线长度也不超过AB/2，CA的中线长度也不超过BC/2。

结论：